DSE數學三角函數完全指南：sin, cos, tan 公式 + 圓的方程 + 必考題型

□ 本文你將學到：

• sin、cos、tan 的基本定義與口訣
• 必背特殊角度值表（0°、30°、45°、60°、90°）
• 三角恆等式：DSE最常用的公式整理
• 圓的方程：標準式 ↔ 一般式互相轉換
• 4道DSE典型例題逐步解析
• 常見5大錯誤 + FAQ解答

Section 1：什麼是三角函數？基本定義

三角函數（Trigonometric Functions）是DSE數學必修部分的核心考點之一，每年Paper 1及Paper 2均必有涉及。三角函數建立在直角三角形的三條邊的比值關係上：

直角三角形三邊命名（以角θ為參考角）：

• 對邊 (Opposite)：θ角的正對面那條邊
• 鄰邊 (Adjacent)：θ角旁邊（非斜邊）那條邊
• 斜邊 (Hypotenuse)：直角三角形最長的邊（直角的對面）

口訣：SOH − CAH − TOA

sin θ = Opposite ÷ Hypotenuse  =  對邊 / 斜邊

cos θ = Adjacent ÷ Hypotenuse  =  鄰邊 / 斜邊

tan θ = Opposite ÷ Adjacent  =  對邊 / 鄰邊

舉例說明： 設直角三角形中，θ的對邊 = 3，鄰邊 = 4，斜邊 = 5，則：

sin θ = 3/5 = 0.6

cos θ = 4/5 = 0.8

tan θ = 3/4 = 0.75

餘割、正割、餘切（較少考但需認識）

DSE偶爾會出現倒數三角函數：

cosec θ (csc θ) = 1 / sin θ = 斜邊 / 對邊

sec θ = 1 / cos θ = 斜邊 / 鄰邊

cot θ = 1 / tan θ = 鄰邊 / 對邊

Section 2：三角函數值表 — 必背特殊角度

以下特殊角度的三角函數值是DSE Paper 2選擇題與Paper 1計算題的高頻考點，必須熟背：

角度 θ	sin θ	cos θ	tan θ
0°	0	1	0
30°	1/2	√3/2	1/√3 = √3/3
45°	1/√2 = √2/2	1/√2 = √2/2	1
60°	√3/2	1/2	√3
90°	1	0	未定義

□ 記憶技巧：sin值的規律

sin 0° = √0/2 = 0

sin 30° = √1/2 = 1/2

sin 45° = √2/2

sin 60° = √3/2

sin 90° = √4/2 = 1

規律：sin θ = √n / 2，其中 n = 0, 1, 2, 3, 4（對應0°到90°）

cos值則完全相反（cos 0° = 1，cos 90° = 0），即倒序排列。

四個象限的正負規律（ASTC 法則）

當角度超過90°時，需要判斷三角函數的正負：

第一象限（0°–90°）

All（全部正）

第二象限（90°–180°）

Sin（只有sin正）

第三象限（180°–270°）

Tan（只有tan正）

第四象限（270°–360°）

Cos（只有cos正）

Section 3：三角恆等式 — DSE必用公式

三角恆等式（Trigonometric Identities）在DSE Paper 1的證明題及化簡題中極為重要，以下是必須掌握的公式：

① 畢氏恆等式（最重要）

sin²θ + cos²θ = 1

延伸形式：

sin²θ = 1 − cos²θ

cos²θ = 1 − sin²θ

② 正切恆等式

tan θ = sin θ / cos θ（cos θ ≠ 0）

常用於將tan轉化為sin和cos的組合，便於化簡。

③ 互補角（Supplementary Angles）公式

sin(180° − θ) = sin θ

cos(180° − θ) = −cos θ

tan(180° − θ) = −tan θ

④ 互餘角（Complementary Angles）公式

sin(90° − θ) = cos θ

cos(90° − θ) = sin θ

⑤ 負角公式

sin(−θ) = −sin θ

cos(−θ) = cos θ

tan(−θ) = −tan θ

Section 4：圓的方程 (Equation of Circle) — DSE必考

「圓的方程」（Equation of Circle）是DSE數學必修部分坐標幾何（Coordinate Geometry）的重要考題，每年幾乎必考，且涉及分數較多，必須熟練掌握。

① 標準式（Standard Form）

(x − a)² + (y − b)² = r²

圓心 (centre) = (a, b)　　半徑 (radius) = r

注意：標準式中是 minus a 和 minus b，很多同學會看錯符號！若圓心為 (3, −2)，則方程為 (x−3)² + (y+2)² = r²。

② 一般式（General Form）

x² + y² + Dx + Ey + F = 0

圓心 = (−D/2, −E/2)　　半徑 = √(D²/4 + E²/4 − F)

③ 兩種形式之間的轉換

一般式 → 標準式：使用「配方法」(Completing the Square)

例：將 x² + y² − 6x + 4y − 3 = 0 化為標準式

步驟 1：x 和 y 各自配方

(x² − 6x  + 9) + (y² + 4y  + 4) = 3 + 9 + 4

步驟 2：整理

(x − 3)² + (y + 2)² = 16

∴ 圓心 = (3, −2)，半徑 = 4

標準式 → 一般式：展開並整理

例：將 (x − 1)² + (y − 5)² = 25 展開

x² − 2x + 1 + y² − 10y + 25 = 25

∴ x² + y² − 2x − 10y + 1 = 0

Section 5：DSE必考題型 — 4道典型例題逐步解析

例題 1｜三角函數基本計算（Paper 2 類型）

題目：若 sin θ = 3/5 且 θ 為銳角（0° < θ < 90°），求 cos θ 及 tan θ 的值。

解題步驟：

步驟 1：利用畢氏恆等式

sin²θ + cos²θ = 1

(3/5)² + cos²θ = 1

9/25 + cos²θ = 1

cos²θ = 1 − 9/25 = 16/25

步驟 2：因θ為銳角，cos θ > 0

cos θ = 4/5

步驟 3：求 tan θ

tan θ = sin θ / cos θ = (3/5) / (4/5) = 3/4

∴ cos θ = 4/5，tan θ = 3/4

例題 2｜三角恆等式化簡（Paper 1 Part A 類型）

題目：化簡 (1 − sin²θ) / cos θ + cos θ · tan²θ

解題步驟：

步驟 1：利用 sin²θ + cos²θ = 1，得 1 − sin²θ = cos²θ

原式 = cos²θ / cos θ + cos θ · (sin²θ / cos²θ)

步驟 2：化簡第一項

= cos θ + sin²θ / cos θ

步驟 3：通分

= (cos²θ + sin²θ) / cos θ

步驟 4：利用 sin²θ + cos²θ = 1

= 1 / cos θ = sec θ

例題 3｜圓的方程：求圓心與半徑（Paper 1 Part B 類型）

題目：圓 C 的方程為 x² + y² − 8x + 6y + 9 = 0。
(a) 求圓心坐標及半徑。
(b) 判斷點 P(1, −3) 是否在圓內、圓上還是圓外。

Part (a) 解題步驟：

配方：

(x² − 8x + 16) + (y² + 6y + 9) = −9 + 16 + 9

(x − 4)² + (y + 3)² = 16

∴ 圓心 = (4, −3)，半徑 = 4

Part (b) 解題步驟：

計算 P(1, −3) 與圓心 (4, −3) 的距離：

d = √[(1−4)² + (−3−(−3))²] = √[9 + 0] = 3

因為 d = 3 < r = 4，

∴ 點 P 在圓內（Inside the circle）

例題 4｜三角函數方程（Paper 1 Part B 類型）

題目：解方程 2sin²θ − sinθ − 1 = 0，其中 0° ≤ θ ≤ 360°。

解題步驟：

步驟 1：視為關於 sin θ 的二次方程，令 u = sin θ

2u² − u − 1 = 0

步驟 2：因式分解

(2u + 1)(u − 1) = 0

步驟 3：解出 u 值

u = −1/2  或  u = 1

步驟 4：還原 sin θ，在 0°–360° 範圍找所有解

當 sin θ = 1：θ = 90°

當 sin θ = −1/2：基準角 = 30°，sin 為負在第三、四象限

θ = 180° + 30° = 210°， θ = 360° − 30° = 330°

∴ θ = 90°、210°、330°

Section 6：常見5大錯誤 — 避開這些失分陷阱

❌ 錯誤 1：搞混標準式的符號

錯誤做法：看到 (x − 3)² + (y + 2)² = 25，讀出圓心為 (−3, 2)

正確做法：圓心是 (+3, −2)。標準式 (x−a)² + (y−b)² = r² 中，a 和 b 是圓心坐標，注意括號內的符號方向。

❌ 錯誤 2：配方後忘記兩邊同時加

錯誤做法：x² − 6x 配方變 (x−3)²，但右邊沒有加9，導致半徑計算錯誤。

正確做法：每次左邊配方加了多少，右邊必須同樣加上相同數值，保持等號成立。

❌ 錯誤 3：不考慮角度所在象限

錯誤做法：解 sin θ = −1/2，只寫 θ = 30°（基準角），忽略負號和象限範圍。

正確做法：sin 為負在第三、四象限，必須結合題目給定的範圍，找出所有滿足條件的角度。

❌ 錯誤 4：錯用畢氏恆等式

錯誤做法：sin θ = cos θ（混淆 sin 和 cos 的值），或寫成 sinθ + cosθ = 1。

正確做法：畢氏恆等式是 sin²θ + cos²θ = 1，注意是「平方和」，不是「和」。

❌ 錯誤 5：tan 90° 忘記是未定義

錯誤做法：直接計算 tan 90° = 某個數值，或在化簡中用到 tan 90°。

正確做法：tan 90° 是 未定義（undefined），因為 cos 90° = 0，而除以0沒有意義。試卷中若出現此情況，須特別說明限制條件。

常見問題解答 FAQ

Q1：DSE數學三角函數主要考哪些內容？

DSE數學必修部分（Compulsory Part）的三角函數主要考：(1) 三角函數基本定義及特殊角度值；(2) 三角恆等式的應用與化簡；(3) 利用三角函數解直角三角形（求邊長、角度）；(4) 解三角方程（0°至360°範圍內的所有解）；(5) 正弦公式（Sine Rule）與餘弦公式（Cosine Rule）。

Q2：圓的方程和三角函數有什麼關係？

在DSE試題中，兩者常常結合出現。例如，以參數方程表示圓上的點：x = a + r·cosθ，y = b + r·sinθ，其中 (a,b) 是圓心，r 是半徑，θ 是角度參數。此外，圓的切線問題有時也需結合三角函數計算。理解兩者的聯繫對攻克高難度題目非常有幫助。

Q3：如何快速判斷一道題需要用標準式還是一般式？

一般情況下：若題目給出圓心和半徑，直接使用標準式寫出方程；若題目給出一般式要求求圓心和半徑，則用配方法化為標準式；若要判斷兩個圓的關係（相交、外切、內切等），兩種形式均可使用，但標準式更直觀，因為圓心和半徑一目了然。

Q4：解三角方程時，如何確保找到所有解？

解三角方程的步驟：(1) 先求基準角（Reference Angle），即同名函數絕對值等於該值的第一象限角；(2) 根據函數的正負，結合ASTC法則確定解所在的象限；(3) 在題目指定範圍（通常是0°至360°）內，寫出所有符合條件的角度。特別注意 sin 函數有兩個解的情況（第一、二象限或第三、四象限），cos 和 tan 同理。

Q5：備考DSE數學三角函數，最有效的溫習策略是什麼？

最有效的備考策略包括：(1) 先熟記特殊角度值表（0°、30°、45°、60°、90°）及基本公式，形成條件反射；(2) 按題型分類練習（基本計算→恆等式化簡→三角方程→複合題），逐步提升；(3) 整理歷年DSE題目，分析出題模式和評分標準；(4) 重點練習配方法（Completing the Square）直至熟練無誤；(5) 定期做計時練習，模擬考試環境，確保在時間壓力下也能準確作答。

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